数列极限的存在条件
必要条件 有界
充分条件：
单调有界定理
单调有界定理：单调有界数列收敛，且收敛于上确界。
证明：
不妨设数列 $\{x_n\}$单调递增有上界。由确界原理，$\{x_n\}$有上确界。记$sup\{x_n\} = a$ 。
$\forall \varepsilon > 0$, 由上确界定义，$\exists N \in \Z^+$，s.t. $a-\varepsilon < x_N$ .
而$\{x_n\}$单调递增，故当$x>N$时成立$a-\varepsilon < x_N < x_n$. 另外，$x_n < a + \varepsilon$,因此$\lim\limits_{n\to\infin} = a$
此后，我们要证明数列收敛，只要证明其单调有界即可。不过，单调有界并不是必要条件。
例 记$x_n = ( 1 + {1\over n})^n$，证明数列$\{x_n\}$收敛。
证：
（1）先证明单调，即$x_n
x_n = \overbrace{1(1+{1\over n})(1+{1\over n})\dots(1+{1\over n}) }^{\text{n+1 items}}
$$
根据均值不等式，对上式：
1(1+{1\over n})(1+{1\over n})\dots(1+{1\over n})
\leqslant \left[{1+(1+{1\over n}) + (1+{1\over n}) + \dots + (1+{1\over n}) \over n +1}\right]^{n+1}
$$
而：
\left[{1+(1+{1\over n}) + (1+{1\over n}) + \dots + (1+{1\over n}) \over n +1}\right]^{n+1} \\= ({n+2\over n+1})^{n+1} = (1+{1\over n+1})^{n+1} = a_{n+1}
$$
因此$x_n < x_{n+1}$，该数列单调递增。
（2）然后证明有界。
由二项式定理：
\begin{eqnarray*}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+1+\sum_{k=2}^nC_{n}^{k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k
\end{eqnarray*} \tag{1}
$$
而：
C_n^k(\frac{1}{n})^k = \frac{\overbrace{n(n-1)\dots(n-k+1)}^{\text{k items}}}{n\cdot n\dots n}\cdot\frac{1}{k!}\tag{2}
$$
并且：
{1\over k!}<\frac{1}{k(k-1)} =\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\tag{3} $$
将$(3)$带入$(2)$，有：
\sum_{k=2}^nC_{n}^{k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k<\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right) = 1 - \frac{1}{n}<1 \tag{4} $$
带回 $(1)$中，得：
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n <3 $$
因此数列收敛于一个小于 3 的常数。
我们把这个常数记作 $e$。
重要极限
记 $\lim\limits_{n\to\infin}(1+\frac{1}{n})^n = e$
区间套定理
若闭区间列 $\{[a_n, b_n]\}$满足：
\begin{align}
&[a_n, b_n]\supseteq[a_{n+1}, b_{n+1}] \tag1\\
&\lim\limits_{n\to\infin}(b_n-a_n) = 0 \tag2
\end{align}
$$
则存在唯一的实数$\xi$，使得对一切$n\in \Z^+$，$\xi\in[a_n,b_n]$.
证 由$(1)$，$a_1 \leqslant a_2 \leqslant \dots\leqslant a_n \leqslant \dots\leqslant b_n \leqslant\dots \leqslant b_2\leqslant b_1$
可见 $\{a_n\}$单调递增有上界 $b_1$ $\{b_n\}$单调递减有下界 $ a_1$。
故 $\{a_n\},\{b_n\}$都收敛。设 $\lim\limits_{n\to\infin }a_n = \xi$，则由$(2)$，$\lim\limits_{n\to\infin }b_n = \xi$。由 两数列的单调性可知 $a_n \leqslant \xi \leqslant b_n$，即 $\xi \in [a_n, b_n],(n\in \Z^+)$. 假设 $\xi' \in [a_n, b_n], (n\in \Z^+)$，则$0 \leqslant |\xi - \xi'|\leqslant |b_n - a_n|$，由$(2)$知 $\xi = \xi'$。因此 $\xi$ 唯一。定理得证。
极限存在的充要条件
数列 $\{x_n\}$收敛的充要条件是其任意非平凡子列 $\{x_{n_k}\}$收敛。
证
必要性：
设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n =a$，$\{x_{n_k}\}$是$\{x_n\}$的任一非平凡子列。下证 $\lim\limits_{k\to\infin}x_{n_k} = a$.
$\forall \varepsilon > 0$，由已知，$\exists N \in \Z^+$, s.t. 当$n > N$时成立$|x_n - a|< \varepsilon$. 要使得 $|x_{n_k} - a|< \varepsilon$，只需 $n_k > N$。注意到 $n_k \geqslant k$，故当 $k> N $时，有 $n_k>N$，进而有 $|x_{n_k} - a |< \varepsilon$，因此$\lim\limits_{k\to\infin}x_{n_k} = a$.
充分性：由已知，$\{x_{2k}\}$和$\{x_{2k-1}\}$都收敛。因此只需证明二者极限相同。注意到$\{x_{6k}\}$是$\{x_{2k}\}$和$\{x_{3k}\}$的子列，由已知及必要性的证明可知：
\lim\limits_{k\to\infin}x_{6k} =
\lim\limits_{k\to\infin}x_{2k} =
\lim\limits_{k\to\infin}x_{3k}
$$
另外，$\{x_{6k-3}\}$是$\{x_{2k-1}\}$和$\{x_{3k}\}$的子列，同理：
\lim\limits_{k\to\infin}x_{6k -3} =
\lim\limits_{k\to\infin}x_{2k-1} =
\lim\limits_{k\to\infin}x_{3k}
$$
由此可知：
\lim\limits_{k\to\infin}x_{2k} = \lim\limits_{k\to\infin}x_{2k-1}
$$
因此$\{x_n\}$收敛。
定理也表明，如$\{x_n\}$有两个子列收敛于不同极限，或有某子列发散，则 $\{x_n\}$发散。
数列极限存在的另一充要条件：
柯西收敛准则
数列$\{a_n\}$收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon > 0$， $\exists N \in \Z^+$，s.t. $n, m> N $时，$|a_n - a_m | < \varepsilon$.