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高数笔记:数列极限的性质

唯一性

定理 若数列 ${x_n}$收敛,则其极限唯一。

证:

假设 ${x_n}$收敛,且有两个不相等的极限 $a,b$.

不妨设 $a<b$,则由极限的定义,对 $\varepsilon = {b-a\over2}>0$,存在 $N\in \Z^+$,使得 $n>N$时成立:
$$
|x_n - a| < \varepsilon
$$

$$
|x_n - b| < \varepsilon
$$

两式相加,得到:
$$
|b-a| = |x_n-a|+|x_n-b| \tag{a}
$$
然后由三角不等式(两边之和大于两边之差):
$$
|x_n-a|+|x_n-b| \geqslant |(x_n-a) - (x_n-b)| = |b-a|
$$
取等的条件是 $x_n = a = b$,但是由题意,$a\ne b$,因此:
$$
|x_n-a|+|x_n-b| > |b-a|
$$
将其带入 $(a)$,得到:

$|b-a|>|b-a|$

矛盾,所以假设不成立,定理得证。

有界性

定理 数列收敛必有界。

分析:有界的意思就是数列的所有值都小于或大于某个值。换言之,数列套上绝对值之后,它的最大值也小于某个值。我们只要找一个这样的“某个值”,证明数列一定小于这个值,即可。

证:

假设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$(假设数列收敛于$a$),那么根据数列极限的定义,对 $\varepsilon =1$(这里取 1 只是图个方便,其实取任意大于 0 的数都行),存在 $N\in \Z^+$,使得当 $n>N$时,成立 $|x_n -a | <1$,即(打开绝对值):
$$
a-1 < x_n < a+1
$$
令 $M = max{|x_1|, |x_2|, \dots,|x_N|, |a-1|,|a+1|}$

则对一切 $n\in \Z^+$,成立 $|x_n|\leqslant M$,即 $ {x_n}$有界。

有界性的意义

它说明只要是有极限的,你逼近极限的过程中就不能乱跑,一定会小于一个值。如下图:$f(x) = ({6\over5})^{x-2\pi}2sin(x),(x>0)$趋近于 0,它在趋近的过程中小于定值 6.

222444666888101010121212141414–8–8–8–6–6–6–4–4–4–2–2–2222444666888101010000fff

设 $\lim\limits_{n\to\infty}an =a, \lim\limits{n\to\infty}bn = 0 $,证明 $\lim\limits{n\to\infty}[a_n]b_n = 0$.

分析:我们能够运用的工具有:极限的定义,数列极限的性质(唯一性,有界性)。要证明上式,根据定义就是证明:$\forall \varepsilon > 0$,存在 $N\in \Z^+$,使得当 $n>N$时,成立 $ |[a_n]b_n - 0 | <\varepsilon$,而根据有界性,$|a_n| < M$,因此$|[a_n]b_n|<(M+1)|b_n|$,而$b_n<\varepsilon'$,综合可得:
$$
|[a_n]b_n|<(M+1)|b_n|<(M+1)\varepsilon'
$$

因此得证。

保序性

定理 设 $\lim\limits_{n\to\infty}an = a, \lim\limits{n\to\infty} b_n = b$. 若自某项起,$a_n\leqslant b_n$,则必有 $a\leqslant b$.

证:

设 $K \in \Z^+, n\geqslant K$时 $a_n \leqslant b_n$。下证 $a\leqslant b$.

反证法:假设 $a > b$,则对 $\varepsilon = {a -b \over 2} > 0$,存在 $N \in \Z^+$,使得 $n>N$时同时成立:
$$
\begin{align}
&|a_n - a | < \varepsilon \
&|b_n - b | < \varepsilon
\end{align}
$$
分别带入 $\varepsilon$ 并打开绝对值,可以得到:
$$
a_n > {a+b\over 2} \
b_n < {a+b\over 2}
$$
也即:
$$
a_n > b_n
$$

当 $n>max{K,N}$时,上式成立的同时,$b_n \leqslant a_n$(题给),矛盾。因此假设不成立,定理得证。

说明

  1. 不必从第一项起就满足 $a_n \leqslant b_n$
  2. 若将条件中的 $a_n \leqslant b_n$ 改为$ a_n < b_n $, 则结论仍然是$a \leqslant b$ , 不是$a < b$.
  3. 定理的逆否命题:设 $\lim\limits_{n\to\infty}an = a, \lim\limits{n\to\infty} b_n = b$. 若有 $a>b$,则自某项起,成立 $a_n>b_n$
  4. 若同时改变条件和结论中不等号的方向 , 命题仍成立 .

迫敛性

迫敛定理 设 $\lim\limits_{n\to\infty}xn = \lim\limits{n\to\infty}y_n = \alpha$,若自某项起,$x_n \leqslant z_n \leqslant yn$,则必有 $\lim\limits{x\to\infty} z_n = \alpha$.

:设 $K \in \Z^+$,$N\geqslant K$时$x_n \leqslant z_n \leqslant yn$,下证$\lim\limits{x\to\infty}z_n = \alpha$.

$\forall \varepsilon > 0$,由已知,$\exists N_1 \in \Z ^+$,使得 $n>N_1$ 时成立:
$$
\alpha - \varepsilon < x_n < \alpha + \varepsilon \
\alpha - \varepsilon < y_n < \alpha + \varepsilon \
$$
取 $N = max{K, N1}$,则 $n>N$时成立
$$
\alpha - \varepsilon < x_n \leqslant z_n \leqslant yn < \alpha + \varepsilon \
$$
因此$\lim\limits
{x\to\infty}z_n = \alpha$,定理得证。

四则运算性质

设:$\lim\limits_{n\to\infty}an = a, \lim\limits{n\to\infty} bn = b$则有:
$$
\begin{align}
& \lim\limits
{n\to\infty}(a_n+b_n) = a + b \tag1 \

&\lim\limits_{n\to\infty}(a_n b_n) = ab \tag2
\end{align}
$$

证明:

$\forall \varepsilon > 0$,由已知,$\exists N \in \Z ^+$,使得 $n>N $ 时成立:
$$
|a_n - a| < \varepsilon \
|b_n - b| < \varepsilon \
$$
两式相加有:$|a_n - a| + |b_n - b|< 2\varepsilon = \varepsilon'$,而
$$
|(a_n+b_n) - (a+b)| = |(a_n - a) + (b_n - b)| < |a_n - a| + |b_n - b|< \varepsilon'
$$
因此 $(1)$ 得证。

另外,
$$
\begin{align}
|a_nb_n - ab| &= |a_nb_n - ab_n + ab_n - ab|\
&\leqslant |a_nb_n - ab_n| + |ab_n - ab|\
&=| b_n | | a_n − a | + | a | | b_n − b |\
&<( | b_n | + | a | ) \varepsilon
\end{align}
$$
而 $|b_n|$ 收敛,因此 $(2)$ 得证。

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