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离散函数,差分,二阶差分和 Laplacian 滤波原理

离散函数

什么是离散函数?我们来看几个例子:

geogebra-export.png

这是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 的函数图像。它的定义域是 $R$,是连续的。

再看下图这是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 当 $x$ 是 $1\over2$ 的整数倍时的图像。是离散的。这样的定义域是离散集合的函数,称为离散函数

geogebra-export (1).png
如果再苛刻一点,定义域是自然数集,值域是实数域,那么这样的函数就是离散数值函数

差分和二阶差分

什么是差分

差分就是相邻两个离散值的差。以函数 $f(x) = x^2,\ x\in Z$为例

$x$ $f(x)$
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25

对于 $x = 1$,我们可以知道:

$f(1) = 1 \f(1 + 1) = 4$

那么差分

$\Delta f(1) = f(1+1) - f(1) = 4 - 1 = 3$

内容补充

这样用$x+1$和 $x$作差的差分,称为向前差分,记号是$\Delta$。另有:

$f(x_i) - f(x_i - h)$:向后差分,记作 $\nabla。$

$f(x_i + h) - f(x_i - h)$ :中心差分。

如果进行一次泰勒展开,还能得到一阶微分的中心差商,可用于更高精度要求。有兴趣的可以自行了解。

以此类推,可得: $x$ $f(x)$ $\Delta f(x)$
1 1 3
2 4 5
3 9 7
4 16 9
5 25 $\dots$

你会发现执行一次差分之后,差分值为等差数列。实际上运用这个特点可以让电路进行求导等数学操作,神奇吧?

我们对$\Delta f(x)$ 也执行差分,也就是差分的差分,称为二阶差分。

由此可得:

$x$ $f(x)$ $\Delta f(x)$ $\Delta ^2f(x)$
1 1 3 2
2 4 5 2
3 9 7 2
4 16 9 $\dots$
5 25 $\dots$ $\dots$

二阶差分之后,我们得到了常数列。可以发现差分的作用和求导是十分类似的。

偏导数的差分形式

在实际问题中,我们常常要面对不止一个自变量。比如图像处理中的像素,需要面对$x,\ y$两个自变量。这个时候可以把差分看作类似微分的东西。那么我们对 $x$ 求差分的偏导可以有:
$$
{\delta f\over\delta x} = {f(x, y) - f(x -1, y)\over1}
$$
由于函数是离散的,所以分母的增量是 $0$。

我们把 $y$ 也考虑进来:
$$
{\delta f\over\delta x} = {f(x, y) - f(x -1, y)}\
{\delta f\over\delta y} = {f(x, y) - f(x , y - 1)}
$$
则二维的一阶差分(向后的)可以表示为:
$$
\begin{align}
\nabla f(x,y) & = {\delta f\over\delta x}+ {\delta f\over\delta y} \
& = 2{f(x, y) - f(x -1, y)} - f(x , y - 1)
\end{align}
$$
实际使用时,可以使用向后差分,也可以使用向前差分:
$$
\begin{align}
\nabla f(x,y) & = {\delta f\over\delta x}+ {\delta f\over\delta y} \
& = - 2{f(x, y) + f(x -1, y)} + f(x , y - 1)
\end{align}
$$

也有人叫它导数,我觉得差分更能体现离散型。不过,大家明白意思就好。

拉普拉斯滤波

差分和导数类似,可以反映变化的快慢。对灰度不同的两个像素进行差分,得到的值就是两个像素的过渡急缓。而过度急剧的地方,往往就是图像中物体的边缘,因此我们认为:一阶差分可以检测边缘存在的可能性。这是一阶差分在这里的实际意义。

那么如果是二阶差分呢?在物理学中,对于位移$\vec{x}$和时间$t$,一阶导数表示速度,二阶差分表示速度的导数加速度。同样的,在图像处理上,一阶差分表示相邻像素的过渡急缓,二阶差分就表示这种过度急缓的变化强弱,可能你还是不明白,没关系,我们会在下面进一步解释。

如果一阶差分就能检测边缘,我们为什么还要二阶差分呢?

我们看下面的图:

1571899683933

这是一张从白到黑均匀渐变的图案,如果交给一阶差分来从上往下分析,会发现差分值一直都存在。于是一阶差分滤波器告诉你:这里全是边缘。但是这和我们的常识是不符的,因为虽然灰度变化了,但是变化的趋势却是均匀的。那么怎么样才能正确判断这是不是边缘呢?聪明的你应该想到了,用二阶差分来看,差分值一直是 0,说明变化是十分均匀的,说明边缘并不存在。因此,二阶差分才是真能确定边缘的存在性

现在知道了它的作用,我们怎么计算二阶差分呢?显然的,对一阶差分再算一次差分就行了,具体的操作我们在上一节的表格里列过,用数学语言表达,对于 $x$ 的二阶偏差分就是:
$$
\begin{align}
\frac{\partial^2f}{\partial x ^2} & =\frac{\partial f'(x)}{dx^2}=f'(x+1)-f'(x)\
& =f((x+1)+1)-f((x+1))-(f(x+1)-f(x))\
& =f(x+2)-f(x+1)-f(x+1)+f(x) \
& =f(x+2)-2f(x+1)+f(x)
\end{align}
$$

令 $x=x-1$ 得:
$$
\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)
$$

同理得到对$y$ 的二阶差分。故有:
$$
\frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)\
\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)
$$
综合可得:
$$
\begin{align}
\Delta^2 f(x,y) & = \frac{\partial^2f}{\partial x ^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y ^2} \
&=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)
\end{align}
$$
这个东西就是拉普拉斯掩膜重心系数,简称拉普拉斯算子,以窗口(窗口的概念,见高斯滤波原理章节)中心元素为坐标原点,将窗口中各个元素带入,即可得到窗口的权重模板,也称核(Kernel)。

一个 8 邻域的窗口核如下:
$$
k = \left[
\begin{matrix}
-1 & -1 & -1 \
-1 & 8 & -1 \
-1 & -1 & -1 \
\end{matrix}
\right]
$$
以此核进行滤波,即可对图像进行锐化。(提醒:结果中有负值部分,记得进行归一化,以免造成缺失)

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