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线性代数 $D_n = \sum(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots p_n)+\tau(q_1 q_2 \dots q_n)}{a_{p_1 q_1}a_{p_2 q_2}\dots a_{p_n q_n}}$ 的证明

$D_n = \sum(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots p_n)+\tau(q_1 q_2 \dots qn)}{a{p_1 q1}a{p_2 q2}\dots a{p_n q_n}}$ 的证明

不妨任选一组求和项

$Item_1 = (-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots p_n)+\tau(q_1 q_2 \dots qn)}{a{p_1 q1}a{p_2 q2}\dots a{p_n q_n}}$

各个元素按行重新选取,使之成为

$(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots pn)}{a{1p1}a{2p2}\dots a{np_n}}$

。根据推论 1,假设 Item_1 的行标排列原本为奇排列,列标排列为偶或偶排列,则经过了奇数次排序,其行标排列成为变成与原来相反的排列(自然排列),列标排列变成与原来相反的排列。对于行标排列,相当于 $(-1)^{\tau(1 2 \dots n)} = 1$,新的符号与原来相反。对于列标排列,新的符号与原来相反。由于行列符号都与原来相反,所以新的符号(整体乘积)与原来相同,从而:

$D_n = \sum(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots p_n)+\tau(q_1 q_2 \dots qn)}{a{p_1 q1}a{p_2 q2}\dots a{p_n q_n}}$

等价于

$D_n = \sum(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots pn)}{a{1p1}a{2p2}\dots a{np_n}}$

PS: n 阶行列式的按列排序定义可以看作这里的特殊情况。

PS: $D^T = D$ 也可看作这里的特殊情况。

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