对于 $\tau(p_1 p_2 \dots p_n)$ 的情形（其中 pn 为列标），可以理解为按行顺序选，符号由列的逆序数奇偶性决定。同理另一种情形，可以理解为按列顺序选，符号由行的逆序数奇偶性决定。
那么我们选择同样的几个数，其对应项的值应该是相同的（否则将会矛盾），因此有：
$\sum(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots pn)}{a{1p1}a{2p2}\dots a{np_n}} = \sum(-1)^{\tau(q_1 q_2 \dots qn)}{a{q1 1}a{q2 2}\dots a{q_n n}}$
而由于相乘的数只是表示不同，数仍相同，因此值是否相等，取决于$(-1)^{\tau(p_1 p_2 \dots p_n)}$和$ (-1)^{\tau(q_1 q_2 \dots q_n)}$ 是否相等。
而之前说过，对应项的值相同，因此上面两个的值相等，也即奇偶性相同。