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线性代数:求特征值的代数方法

类型 1, A 换 $\lambda$ 对应次方, E 换 1

为什么我们老师不教? 每次都用$AX=\lambda X$推, 坑比啊! 最后还是自己发现了这个方法.

若$A^2=E$,则$A$的特征值为$±1$.
$$
A^2 - E = 0\\lambda^2-1=0\\lambda_1=1,\lambda_2=-1
$$
$A^{2}-A-2 E=0$, 求 $\lambda$


$$
\lambda^2-\lambda-2=0\\Rightarrow \lambda_1 = -1, \lambda_2 = 2
$$

  • 已知 $A^2=E$, 正惯性指数 $p$求$|2E-A|$

解$\lambda^2=1$, 得到 $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1$. $|2E-A|$ 的特征值就是 $2-\lambda$ ,也就是 $1,3$, 分别对应 $+/-$, 所以 $|2E-A|=对角积=1^p3^{n-p}=3^{n-p}$

  • 对二阶矩阵 A, $A \alpha{1}=0, A \alpha{2}=2 \alpha{1}+\alpha{2}$ 求特征值.

根据定义, 以及 $A \alpha_{1}=0$, 显然一个特征值是 0

凑 $A(2 \alpha{1}+\alpha{2}) = 2A \alpha{1}+A\alpha{2} = A\alpha2 = 1(2 \alpha{1}+\alpha_{2})$ 因此另一个特征值就是 1.

  • $\alpha, A \alpha, A^{2} \alpha$ 构成的行列式不为零 A 是三阶方阵, $A^{3} \alpha=4 \alpha+4 A \alpha-A^{2} \alpha$求特征值和$|A^\star+3E|$
  1. 把三个列向量看作一个整体, 直接解方程 $\lambda^3= 4+4\lambda-\lambda^2\Rightarrow(\lambda-2)(\lambda+1)(\lambda+2)=0$ 就得到了特征值.

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